1379. Через точку на стороне четырёхугольника проведена прямая, параллельная диагонали, до пересечения с соседней стороной четырёхугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная другой диагонали, и т. д. Докажите, что пятая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной.
Указание. Примените теорему о пропорциональных отрезках.
Решение. Пусть M_{1}
— точка на стороне AB
четырёхугольника ABCD
; прямая, проведённая через M_{1}
параллельно диагонали AC
, пересекает сторону BC
в точке M_{2}
; точки M_{3}
, M_{4}
и M_{5}
получены указанным в условии способом. Обозначим \frac{AM_{1}}{M_{1}B}=\frac{x}{y}
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BM_{2}}{M_{2}C}=\frac{y}{x},~\frac{CM_{3}}{M_{3}D}=\frac{x}{y},~\frac{DM_{4}}{M_{4}A}=\frac{y}{x},
\frac{AM_{5}}{M_{5}B}=\frac{x}{y}=\frac{AM_{1}}{M_{1}B}.
Следовательно, точка M_{5}
совпадает с точкой M_{1}
.
