13796. Точка B
лежит на стороне AB
треугольника ABC
, причём 4AD=AB
. Луч l
с началом D
и точка C
лежат по одну от прямой AB
, причём угол между этим лучом и лучом DA
равен углу ACB
. Описанная окружность треугольника ABC
и луч l
пересекаются в точке P
. Докажите, что PB=2PD
.
Решение. Пусть прямая DP
вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC
точке Q
. Тогда
\angle ADQ=\angle BDP=180^{\circ}-\angle ADP=180^{\circ}-\angle ACB=\angle AQP,
Поэтому треугольники ADQ
и AQB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AS}{AQ}=\frac{AQ}{AB}~\Rightarrow~AQ^{2}=AD\cdot AB=\frac{1}{4}AB^{2}~\Rightarrow~AQ=\frac{1}{2}AB.
Кроме того,
\angle BDP=\angle ADQ=\angle AQB~\mbox{и}~\angle DPB=\angle QPB=\angle QAB,
поэтому треугольники PDB
и AQB
также подобны по двум углам. Значит,
\frac{BP}{PD}=\frac{AB}{AQ}=\frac{AB}{\frac{1}{2}AB}=2.
Следовательно, BP=2PD
. Что и требовалось доказать.