13798. Равные окружности K_{1}
, K_{2}
, K_{3}
и K_{4}
расположены внутри треугольника ABC
, причём окружности K_{1}
, K_{2}
и K_{3}
вписаны в углы BAC
, ABC
и CAB
соответственно, а окружность K_{4}
касается каждой из них. Докажите, что центр окружности K_{4}
лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
.
Решение. Пусть O_{i}
— центр окружности K_{i}
(i=1{,}2,3{,}4
); \rho
— радиус этих окружностей, I
и r
— центр и радиус окружности \gamma
, вписанной в треугольник ABC
; O
и R
— центр и радиус окружности \Gamma
, описанной около треугольника ABC
.
При гомотетии с центром A
и коэффициентом k=\frac{\rho}{r}
окружность \gamma
переходит в окружность K_{1}
, поэтому \overrightarrow{AO_{1}}=k\overrightarrow{AI}
. Тогда \overrightarrow{IO_{1}}=(1-k)\overrightarrow{IA}
. Аналогично, \overrightarrow{IO_{2}}=(1-k)\overrightarrow{IB}
и \overrightarrow{IO_{3}}=(1-k)\overrightarrow{IC}
.
При гомотетии с центром I
и коэффициентом 1-k
треугольник ABC
переходит в треугольник O_{1}O_{2}O_{3}
. Значит, центр O
окружности \Gamma
переходит в центр O_{4}
описанной окружности треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, т. е. при этой гомотетии точка O
переходит в O_{4}
. Тогда прямая OO_{4}
проходит через центр I
гомотетии. Следовательно, точки O_{4}
, O
и I
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Примечание. Радиус описанной окружности треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, равный 2\rho
, удовлетворяет условию
2\rho=(1-k)R=\left(1-\frac{\rho}r\right),
откуда \rho=\frac{rR}{2r+R}
.