13805. Во вписанном четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=BC=AD+CD
, \angle BAD=\alpha
и AC=d
. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ. \frac{1}{2}d^{2}\sin\alpha
.
Решение. Обозначим AB=BC=AD+CD=a
, \angle ABC=\theta
. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle DAB}+S_{\triangle DCB}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\alpha+\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin(180^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{2}a(AD+CD)\sin\alpha=\frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha.
С другой стороны,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\theta+\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin\theta=
=\frac{1}{2}(a^{2}+AD\cdot CD)\sin\theta.
Значит,
a^{2}\sin\alpha=(a^{2}+AD\cdot CD)\sin\theta.
По теореме косинусов
d^{2}=AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2AD\cdot CD\cos(180^{\circ}-\theta)=
=AD^{2}+CD^{2}+2AD\cdot CD\cos\theta=
=(AD+CD)^{2}-2AD\cdot CD(1-\cos\theta)=2a^{2}(1-\cos\theta),
откуда
2(1-\cos\theta)=\frac{d^{2}}{a^{2}}.
Тогда
d^{2}=AD^{2}+CD^{2}+2AD\cdot CD\cos\theta=
=(AD+CD)^{2}-2AD\cdot CD(1-\cos\theta)=a^{2}-AD\cdot CD\cdot\frac{d^{2}}{a^{2}},
откуда
AD\cdot CD=\frac{a^{4}}{d^{2}}-a^{2},
поэтому
a^{2}+AD\cdot CD=a^{2}+\left(\frac{a^{4}}{d^{2}}-a^{2}\right)=\frac{a^{4}}{d^{2}}.
Значит, a^{2}\sin\theta=d^{2}\sin\alpha
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}a^{2}\sin\theta=\frac{1}{2}d^{2}\sin\alpha.