13817. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Известно, что \angle A=70^{\circ}
, а CA+AI=BC
. Найдите \angle B
.
Ответ. 35^{\circ}
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
AI=BC-CA=a-b.
На продолжении стороны AB
за точку A
отложим отрезок AD=AI
. Тогда BAI
— внешний угол равнобедренного треугольника DAI
, поэтому
\angle ADI=\angle AID=\frac{1}{2}\alpha.
Проведём высоту IF
треугольника BID
. Тогда F
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AB
, поэтому
AF=p-a,~BF=p-b
(см. задачу 219). Значит,
DF=DA+AF=AI+AF=(a-b)+(p-a)=p-b=BF,
и треугольник BID
равнобедренный. При этом BI
— биссектриса угла ABC
. Следовательно,
\beta=\angle ABC=2\angle ABI=2\angle DBI=2\angle BDI=2\angle ADI=2\cdot\frac{1}{2}\alpha=\alpha=35^{\circ}.