13818. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника не превосходит четверти суммы квадратов всех его сторон.
Решение. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=
=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC+\frac{1}{2}CD\cdot DA\sin\angle ADC\leqslant~
\leqslant~\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}CD\cdot DA=\frac{1}{2}(AB\cdot BC+CD\cdot DA)~\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}\left(\frac{AB^{2}+BC^{2}}{2}+\frac{CD^{2}+DA^{2}}{2}\right)=
=\frac{1}{4}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2})
(см. задачу 3399). Что и требовалось доказать.
Равенство достигается в случае, когда углы A
и D
прямые, а AB=BC
и CD=DA
, т. е. когда ABCD
— квадрат.