13820. Точки M
, N
и P
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, а G
— точка пересечения его медиан. Известно, что BN=\frac{\sqrt{3}}{2}AB
и BMGP
— вписанный четырёхугольник. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Поскольку точки B
, M
, G
и P
лежат на одной окружности, то (см. задачу 2636)
AG\cdot AM=AP\cdot AB~\Rightarrow~\frac{2}{3}AM\cdot AM=\frac{1}{2}AB\cdot AB~\Rightarrow~
~\Rightarrow~AM^{2}=\frac{3}{4}AB^{2}=BN^{2}~\Rightarrow~AM=BN.
Значит, треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
(см. задачу 1904).
Медиана CP
равнобедренного треугольник ABC
является его высотой, поэтому \angle BPG=90^{\circ}
. Значит, BG
— диаметр описанной окружности четырёхугольника BMGP
. Тогда
\angle AMB=\angle GMB=90^{\circ},
и медиана AM
треугольника ABC
является его высотой. Значит, AB=AC
. Таким образом,
AB=AC=BC.
Следовательно, треугольник ABC
равносторонний. Что и требовалось доказать.