13834. Докажите, что для сторон a
, b
и c
треугольника и радиуса R
его описанной окружности верно неравенство
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant\frac{1}{R^{2}}.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника, S
— площадь, а r
— радиус вписанной окружности. Тогда (см. задачи 4259 и 452)
S=\frac{abc}{4R},~S=pr,
поэтому
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2p}{4RS}=\frac{p}{2R\cdot pr}=\frac{1}{2Rr}\geqslant\frac{1}{R^{2}},
так как r\leqslant\frac{R}{2}
(см. задачу 3587). Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.