13852. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
вне треугольника построены квадраты AEFB
, BGHC
и ACJD
. Сумма площадей двух первых квадратов равна половине площади шестиугольника DEFGHJ
. Докажите, что треугольники BFG
и CHG
равновелики треугольнику ABC
и найдите угол ABC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
S_{\triangle DAE}=\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}bc\sin\alpha=S_{\triangle ABC},
S_{\triangle BFG}=\frac{1}{2}ac\sin(180^{\circ}-\beta)=\frac{1}{2}ac\sin\beta=S_{\triangle ABC}.
Аналогично, S_{\triangle CHG}=S_{\triangle ABC}
.
По теореме косинусов
b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta.
Все четыре треугольника ABC
, DAE
, BFG
и VHJ
равновелики, значит, по условию задачи
c^{2}+a^{2}=S_{AEFB}+S_{BGHC}=4S_{\triangle ABC}+S_{ACJD}=4\cdot\frac{1}{2}ac\sin\beta+b^{2}=
=2ac\sin\beta+a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta,
откуда \sin\beta=\cos\beta
. Следовательно, \beta=45^{\circ}
.