13853. В равнобедренном треугольнике ABC
углы при основании BC
равны 70^{\circ}
. На боковых сторонах AB
и AC
отмечены точки F
и E
соответственно, причём \angle ABE=15^{\circ}
и \angle ACF=30^{\circ}
. Найдите \angle AEF
.
Ответ. 105^{\circ}
.
Решение. Поскольку
FCB=70^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ},
из треугольника BCF
получаем, что
\angle BFC=180^{\circ}-(40^{\circ}+70^{\circ}=70^{\circ}=\angle CBA,
поэтому треугольник BFC
равнобедренный, CB=CF
.
Из треугольника CBE
находим, что
\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE=70^{\circ}-15^{\circ}=55^{\circ},
поэтому
\angle BEC=180^{\circ}-(55^{\circ}+70^{\circ}=55^{\circ}=\angle CBE.
Значит, треугольник BCE
тоже равнобедренный, CB=CE
. Тогда CE=CB=CF
, треугольник ECF
тоже равнобедренный, и
\angle CFE=\angle CEF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AEF=\angle CFE+\angle ECF=75^{\circ}+30^{\circ}=105^{\circ}.