13854. Дан треугольник ABC
, в котором AB\gt AC
, а M
— середина стороны BC
. На продолжении стороны AB
за точку A
отметили точку P
, для которой AP+PC=AB
, а на стороне AB
— точку Q
, для которой CQ\perp AM
. Докажите, что BQ=2AP
.
Решение. На продолжении отрезка AP
за точку P
отметим отрезок PD=PC
. Тогда
AD=AP+PD=AP+PC=AB,
поэтому A
— середина отрезка BD
, а AM
— средняя линия треугольника BCD
. Значит, AM\parallel DC
, а так как CQ\perp AM
, то CQ\perp DC
.
Опустим перпендикуляр PN
на основание CD
равнобедренного треугольника CPD
. Тогда N
— середина отрезка CD
, а так как PN\parallel CQ
, то P
— середина отрезка DQ
. Тогда PQ=PD=PC
. Значит,
AP+AQ=PQ=PC=AB-AP,
откуда,
2AP=AB-AQ=BQ.
Что и требовалось доказать.