13862. Дан треугольник ABC
, в котором \angle BAC=120^{\circ}
и AB\gt AC
. Точка M
— середина стороны BC
. Докажите, что \angle MAC\gt2\angle ACB
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда \beta+\gamma=60^{\circ}
.
Пусть D
— такая точка на стороне BC
, для которой \angle BAD=2\beta
. Тогда
\angle CAD=120^{\circ}-2\beta=2\gamma.
По теореме синусов
BD=\frac{AD\sin2\beta}{\sin\beta}=\frac{2AD\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta}=2AD\cos\beta,
CD=\frac{AD\sin2\gamma}{\sin\gamma}=AD\cos\gamma=2AD\cos(60^{\circ}-\beta).
Поскольку \beta+\gamma=60^{\circ}
и \gamma\gt\beta
(так как AB\gt AC
), то 60^{\circ}-\beta\gt\beta
, поэтому \cos(60^{\circ}-\beta)\lt\cos\beta
. Значит,
BD=2AD\cos\beta\gt2AD\cos(60^{\circ}-\beta)=CD.
Следовательно, середина M
отрезка BC
лежит между точками B
и D
, и поэтому
\angle MAC\gt\angle DAC=2\gamma=2\angle ACB.
Что и требовалось доказать.