13880. Вершины C
и D
квадрата ABCD
лежат на разных радиусах окружности с центром O
, а вершины A
и B
— на окружности. Лучи OC
и OD
пересекают окружность в точках C'
и B'
. Найдите градусную меру дуги C'D'
, содержащей точку A
, если площадь квадрата равна квадрату радиуса окружности.
Ответ. 210^{\circ}
.
Решение. Из условия задачи следует, что сторона квадрата равна радиусу окружности, поэтому треугольник AOB
равносторонний. Значит, точка O
лежит внутри квадрата (иначе угол при основании OC
равнобедренного треугольника OBC
равен 75^{\circ}
, что невозможно, так как он больше прямого угла BCD
). Тогда
OB=AB=CB=AD=OA,
поэтому
\angle AOD=\angle BOC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Следовательно,
\smile C'AD'=\angle C'OD'=\angle COD=\angle AOD+\angle AOB+\angle BOC=
=75^{\circ}+60^{\circ}+75^{\circ}=210^{\circ}.