13885. Дан треугольник, две медианы которого перпендикулярны. Докажите, что треугольник, составленный из медиан данного, — прямоугольный.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— его медианы, а M
— точка их пересечения, причём AA_{1}\perp BB_{1}
.
На продолжении медианы CC_{1}
за точку C_{1}
отложим отрезок C_{1}D=\frac{1}{3}CM
. Тогда ADBM
— параллелограмм, поэтому AD=BM=\frac{2}{3}BB_{1}
. Каждая сторона треугольника AMD
равна двум третям соответствующей медианы треугольника ABC
, значит, треугольник AMD
подобен треугольнику, составленному из медиан треугольника ABC
(с коэффициентом \frac{2}{3}
). По условию \angle AMB=90^{\circ}
. Следовательно, треугольник, составленный из медиан данного, — прямоугольный. Что и требовалось доказать.