13897. Точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам A
, B
и C
соответственно, а H_{a}
, H_{b}
и H_{c}
— ортоцентры треугольников I_{a}BC
, I_{b}AC
и I_{c}AB
соответственно. Докажите, что площадь шестиугольника H_{a}CH_{b}AH_{c}B
вдвое больше площади треугольника ABC
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Поскольку I_{a}A
, I_{b}B
и I_{c}C
— высоты треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769), то BH_{c}\parallel IA\parallel CH_{b}
, AH_{c}\parallel IB\parallel CH_{a}
и BH_{a}C\parallel IC\parallel AH_{b}
. Значит, AIBH_{c}
, AICH_{b}
и CIBH_{a}
— параллелограммы.
Поскольку I_{a}
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
, то
\angle BI_{a}C=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC\lt90^{\circ}
(см. задачу 4770), а так как \angle I_{a}BC\lt90^{\circ}
и \angle I_{a}CB\lt90^{\circ}
как половины углов треугольника ABC
, то треугольник I_{a}BC
остроугольный. Значит, ортоцентр H_{a}
лежит внутри него. Аналогично, ортоцентры H_{b}
и H_{c}
лежат внутри треугольников I_{b}AC
и I_{c}AB
соответственно. Кроме того, точка I
лежит внутри треугольника ABC
, а значит, внутри выпуклого шестиугольника H_{a}CH_{b}AH_{c}B
. Следовательно, площадь шестиугольника равна сумме площадей параллелограммов AIBH_{c}
, AICH_{b}
и CIBH_{a}
. Таким образом,
S_{H_{a}CH_{b}AH_{c}B}=S_{AIBH_{c}}+S_{AICH_{b}}+S_{CIBH_{a}}=2S_{\triangle AIB}+2S_{\triangle AIC}+2S_{\triangle BIC}=
=2(S_{\triangle AIB}+S_{\triangle AIC}+S_{\triangle BIC})=2S_{\triangle ABC}.