13899. Точки
D
,
E
и
F
расположены внутри треугольника
ABC
, причём
\angle FAB=\angle EAC,~\angle FBA=\angle DBC,~\angle DCB=\angle ECA,

AF=AE,~BF=BD,~CD=CE.

Радиусы описанных окружностей треугольников
ABC
и
DEF
равны
R
и
r
соответственно, а полупериметр треугольника
ABC
равен
p
. Докажите, что площадь треугольника
EDF
равна
\frac{pr^{2}}{2R}
.
Решение. Пусть
I
— центр вписанной окружности треугольника
ABC
, а
I_{a}
,
I_{b}
и
I_{c}
— центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам
A
,
B
и
C
соответственно.
Заметим, что
AI_{a}
— биссектриса угла
BAC
, а точки
E
и
F
симметричны относительно прямой
I_{a}A
. поэтому прямая
I_{a}A
— серединный перпендикуляр к стороне
EF
треугольника
DEF
. Аналогично, прямые
I_{b}B
и
I_{c}C
— серединные перпендикуляры к двум другим сторонами этого треугольника. Следовательно, точка
I
пересечения прямых
I_{a}A
,
I_{b}B
и
I_{c}C
— центр описанной окружности треугольника
DEF
.
Прямая
I_{a}A
перпендикулярна
I_{c}I_{b}
как высота треугольника
I_{b}I_{a}I_{c}
(см. задачу 4769), значит,
FE\parallel I_{b}I_{c}
. Аналогично,
BE\parallel I_{a}I_{b}
и
BF\parallel I_{a}I_{c}
. Тогда треугольники
I_{a}I_{b}I_{c}
и
ABC
подобны.
Обозначим
\angle BAC=\alpha
,
\angle ABC=\beta
и
\angle ACB=\gamma
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle EDF\angle I_{b}I_{a}I_{c}=\angle BI_{a}C=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\frac{\beta+\gamma}{2}\lt90^{\circ}.

Аналогично,
\angle DEF=\frac{\alpha+\gamma}{2}\lt90^{\circ},~\angle DFE=\frac{\alpha+\beta}{2}\lt90^{\circ}.

Треугольник
I_{a}I_{b}I_{c}
остроугольный, значит, подобный ему треугольник
DEF
тоже остроугольный. Тогда центральный угол
EIF
вдвое больше вписанного угла
EDF
, т. е.
\angle EIF=\beta+\gamma
. Аналогично,
\angle DIF=\alpha+\gamma,~\angle DIE=\alpha+\beta.

Радиус описанной окружности треугольника
DEF
равен
r
, поэтому
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle EIF}+S_{\triangle DIF}+S_{\triangle DIE}=

=\frac{1}{2}r^{2}\sin(\beta+\gamma)+\frac{1}{2}r^{2}\sin(\alpha+\gamma)+\frac{1}{2}r^{2}\sin(\alpha+\beta)=

=\frac{1}{2}r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=

=\frac{1}{2}r^{2}\left(\frac{BC}{2R}+\frac{AC}{2R}+\frac{AB}{2R}\right)=\frac{1}{2}r^{2}\cdot\frac{p}{R}=\frac{pr^{2}}{2R}.