13912. Точки D
и E
лежат на стороне AB
треугольника ABC
, а точки F
и G
— на стороне AC
. При этом AE=ED=DB
и AF=FG=GC
. Прямая BF
пересекает CD
и CE
в точках K
и L
соответственно, а прямая BG
пересекает CD
и CE
в точках N
и M
соответственно. Докажите, что:
а) KM\parallel BC
;
б) площадь треугольника KLM
равна \frac{5}{7}
площади четырёхугольника KLMN
.
Решение. Пусть лучи AK
, AL
, AM
и AN
пересекают сторону BC
в точках K'
, L'
, M'
и N'
соответственно. (С помощью теоремы Чевы легко доказать, что точки L'
и N'
совпадают с серединой стороны BC
, но в нашей задаче это не понадобится.)
По теореме Ван-Обеля (см. задачу 1663)
\frac{AK}{KK'}=\frac{AD}{DB}+\frac{AF}{FC}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}~\Rightarrow~\frac{KK'}{AK'}=\frac{2}{7},
\frac{AL}{LL'}=\frac{AE}{EB}+\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1~\Rightarrow~\frac{LL'}{AL'}=\frac{1}{2},
\frac{AM}{MM'}=\frac{AE}{EB}+\frac{AG}{GC}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}~\Rightarrow~\frac{MM'}{AM'}=\frac{2}{7},
\frac{AN}{NN'}=\frac{AD}{DB}+\frac{AG}{GC}=2+2=4~\Rightarrow~\frac{NN'}{AN'}=\frac{1}{5}.
Из первой и третьей формул получаем, что \frac{KK'}{AK'}=\frac{MM'}{AM'}
. Следовательно, KM\parallel BC
.
Из полученных формул также следует, что отношение высот треугольников KLM
и KMN
с общим основанием KM
равно \frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{7}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}=\frac{5}{2}
. Значит, отношение площадей этих треугольников тоже равно \frac{5}{2}
. Следовательно, отношение площадей треугольника KLM
и четырёхугольника KLMN
равно \frac{5}{5+2}=\frac{5}{7}
.
Что и требовалось доказать.