13940. Пусть m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
— медианы треугольника со сторонами a
, b
и c
, а k_{a}
, k_{b}
и k_{c}
— соответствующие им симедианы этого треугольника. Докажите, что любого натурального n
верно неравенство
\left(\frac{m_{a}}{k_{a}}\right)^{n}+\left(\frac{m_{b}}{k_{b}}\right)^{n}+\left(\frac{m_{c}}{k_{c}}\right)^{n}\geqslant3.
Решение. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
m_{a}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}).
По формуле для симедианы треугольника (см. задачу 10340)
k_{a}^{2}=\frac{b^{2}c^{2}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{(b^{2}+c^{2})^{2}}.
Значит,
\frac{m_{a}^{2}}{k_{a}^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{\frac{b^{2}c^{2}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{(b^{2}+c^{2})^{2}}}=\frac{(b^{2}+c^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}.
Тогда (см. задачу 3399)
\frac{m_{a}}{k_{a}}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2bc}\geqslant1,
поэтому для любого натурального n
верно неравенство
\left(\frac{m_{a}}{k_{a}}\right)^{n}\geqslant1.
Аналогично,
\left(\frac{m_{b}}{k_{b}}\right)^{n}\geqslant1,~\left(\frac{m_{c}}{k_{c}}\right)^{n}\geqslant1.
Сложив эти три неравенства, получим требуемое.