13953. Расстояния от вершин треугольника до его вписанной окружности радиуса r
равны x
, y
и z
соответственно. Докажите, что площадь S
треугольника можно вычислить по формуле
S=\frac{\sqrt{xyz(x+2r)(y+2r)(z+2r)}}{r}.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, p
— полупериметр треугольника, а K
, L
и M
— точки касания окружности со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
соответственно. Пусть отрезки AI
, BI
и CI
пересекают вписанную окружность в точках X
, Y
и Z
соответственно. Тогда расстояния от вершин треугольника до вписанной окружности равны AX
, BY
и CZ
(см. задачу 467). Поэтому
AI=x+r,~BI=y+r~CI=z+r,
а так как
AM=p-a,~BK=p-b,~CL=p-c
(см. задачу 219), то из прямоугольного треугольника AMI
получаем
(x+r)^{2}=AI^{2}=AM^{2}+IM^{2}=(p-a)^{2}+r^{2},
откуда
(p-a)^{2}=x(x+2r).
Аналогично,
(p-b)^{2}=y(y+2r),~(p-c)^{2}=z(z+2r).
Тогда по формуле Герона, учитывая, что S=pr
(см. задачу 452), получаем
S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)=p\sqrt{xyz(x+2r)(y+2r)(z+2r)}=
=\frac{S}{r}\sqrt{xyz(x+2r)(y+2r)(z+2r)}.
Следовательно,
S=\frac{\sqrt{xyz(x+2r)(y+2r)(z+2r)}}{r}.
Что и требовалось доказать.