13962. I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, отрезок AI
пересекает эту окружность в точке M
, касательная к окружности, проведённая в точке M
, пересекает прямую BI
в точке N
, а P
— точка на прямой AI
. Докажите, что PC\perp AI
тогда и только тогда, когда PN\parallel BM
.
Решение. Заметим, что параллельность PN
и BM
равносильна подобию треугольников BIM
и NIP
, что, равносильно равенству \frac{IM}{IB}=\frac{IP}{IN}
.
С другой стороны, перпендикулярность PC
и AI
равносильна тому, что треугольник CPI
прямоугольный с прямым углом при вершине P
, что равносильно равенству \cos\angle PIC=\frac{IP}{IC}
.
Таким образом, достаточно доказать равносильность равенств \frac{IM}{IB}=\frac{IP}{IN}
и \cos\angle PIC=\frac{IP}{IC}
.
Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
. Пусть радиус вписанной окружности равен r
, а D
— точка касания окружности со стороной BC
. Тогда ID=IM=r
, а IB=\frac{r}{\sin\beta}
. Тогда
\frac{IM}{IB}=\frac{r}{\frac{r}{\sin\beta}}=\sin\frac{\beta}{2}.
Кроме того,
IC=\frac{ID}{\sin\angle BCD}=\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle NIM=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2},
поэтому
\cos\angle NIM=\cos\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{IM}{IN}=\frac{r}{IN}.
Аналогично,
\cos\angle PIC=\cos\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\sin\frac{\beta}{2}.
Следовательно,
PN\parallel BM~\Leftrightarrow~\frac{IM}{IB}=\frac{IP}{IN}~\Leftrightarrow~\sin\frac{\beta}{2}=\frac{IM}{IB}=\frac{IP}{IC}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{IP}{IC}=\cos\angle PIC~\Leftrightarrow~PC\perp AI.
Отсюда следует утверждение задачи.