13973. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AC\ne BC
, O
— центр описанной окружности, CF
— высота. Точки X
и Y
— проекции вершин соответственно A
и B
на прямую CO
. Прямая FO
вторично пересекает описанную окружность треугольника FXY
в точке P
. Докажите, что OP\lt OF
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Поскольку треугольник ABC
остроугольный, центральный угол AOC
вдвое больше вписанного угла ABC
, а так как треугольник AOC
равнобедренный, то
\angle ACO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOC=90^{\circ}-\beta.
Значит,
CX=AC\cos(90^{\circ}-\beta)=AC\sin\beta.
Аналогично, CY=BC\sin\alpha
. Кроме того,
CF=AC\sin\alpha=BC\sin\beta,
поэтому
CF^{2}=CF\cdot CF=AC\sin\alpha\cdot BC\sin\beta=AC\sin\beta\cdot BC\sin\alpha=CX\cdot CY.
Следовательно, прямая CF
— касательная к описанной окружности \Gamma
треугольника FXY
(см. задачу 4776), и центр окружности \Gamma
лежит на прямой AB
.
В то же время, центр этой окружности лежит на серединном перпендикуляре p
к отрезку XY
, а так как AC\ne BC
, то прямая p
пересекает AB
в некоторой точке D
, и эта точка — центр окружности \Gamma
. Из прямоугольного треугольника DFO
получаем, что OD\lt OF
.
Пусть r
— радиус окружности \Gamma
, а DO=d
. Степень точки O
относительно окружности \Gamma
— это
OP\cdot OF=d^{2}-r^{2}=OD^{2}-DF^{2}
(см. задачи 2635 и 2636). Следовательно,
OP=\frac{OD^{2}-DF^{2}}{OF}\lt\frac{OF^{2}-DF^{2}}{OF}\lt\frac{OF^{2}}{OF}=OF.
Что и требовалось доказать.