13974. Через точку P
, лежащую на вписанной окружности \gamma
треугольника ABC
, проведены прямые, перпендикулярные сторонам BC
, CA
и AB
соответственно. Эти прямые вторично пересекают окружность \gamma
в точках U
, V
и W
соответственно. Докажите, что площадь треугольника UVW
не зависит от выбора точки P
на окружности \gamma
.
Решение. Докажем, что треугольник UVW
подобен треугольнику ABC
. Тогда, поскольку \gamma
— описанная окружность треугольника UVW
, отсюда будет следовать, что отношение площадей треугольников UVW
и ABC
равно квадрату коэффициента подобия, т. е. \left(\frac{r}{R}\right)^{2}
, где r
и R
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, и поэтому S_{\triangle UVW}=\left(\frac{r}{R}\right)^{2}S_{\triangle ABC}
.
Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
соответственно, а через x
, y
и z
— углы треугольника UVW
при вершинах U
, V
и W
соответственно.
Точка P
лежит внутри угла BAC
, причём PV\perp AC
и PW\perp AB
, поэтому \angle VPW=180^{\circ}-\alpha
. Точки P
, U
, V
и W
лежат на одной окружности, поэтому либо \angle VUW=\angle VPW
, либо \angle VUW=180^{\circ}-\angle VPW
, т. е. либо x=\alpha
, либо x=180^{\circ}-\alpha
. Аналогично,
y=\beta~\mbox{либо}~y=180^{\circ}-\beta,~z=\gamma~\mbox{либо}~y=180^{\circ}-\gamma.
Докажем, что существует лишь одна возможность: x=\alpha
, y=\beta
и z=\gamma
.
Предположим, что x\ne\alpha
. Тогда x=180^{\circ}-\alpha
. Если при этом y=\beta
и z=\gamma
, то
180^{\circ}=x+y+z=(180^{\circ}-\alpha)+\beta+\gamma~\Rightarrow~\alpha=\beta+\gamma=90^{\circ}=180^{\circ}-\alpha=x,
что противоречит нашему предположению. Если же, например, y=180^{\circ}-\beta
и z=\gamma
, то
x+y=(180^{\circ}-\alpha)+(180^{\circ}-\beta)\gt180^{\circ},
что невозможно, так как \alpha+\beta\lt180^{\circ}
. Аналогично для y=\beta
и z=180^{\circ}-\gamma
.
Аналогично докажем что невозможны случаи y\ne\beta
и z\ne\gamma
. Таким образом, треугольник UVW
подобен треугольнику ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.