13979. В треугольнике ABC
с тупым углом при вершине A
провели высоты AD
, BE
и CF
. Оказалось, что прямая DE
параллельна CF
, а прямая DF
параллельна биссектрисе AU
треугольника ABC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 108^{\circ}
, 18^{\circ}
, 54^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
.
Из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) получаем, что BU=\frac{ac}{b+c}
, а так как AU\parallel DF
, то из подобия треугольников FBD
и ABU
получаем, что
BD=\frac{BU}{AB}\cdot BF=\frac{\frac{ac}{b+c}}{c}\cdot BF=\frac{a}{b+c}BF.
Поскольку
\frac{BD}{c}=\frac{BD}{AB}=\cos\beta=\frac{BF}{BC}=\frac{BF}{a},
то BD=\frac{c}{a}BF
. Тогда из равенства \frac{c}{a}BF=\frac{a}{b+c}BF
следует, что \frac{c}{a}=\frac{a}{b+c}
, или, если R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, то
bc=a^{2}-c^{2}~\Leftrightarrow~2R\sin\beta\cdot2R\sin\gamma=4R^{2}\sin^{2}\alpha-4R^{2}\sin^{2}\gamma~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\beta\sin\gamma=\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\gamma~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\beta\sin\gamma=(\sin\alpha-\sin\gamma)(\sin\alpha+\sin\gamma)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\beta\sin\gamma=2\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\beta\sin\gamma=\sin(\alpha-\gamma)\sin(\alpha+\gamma)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\beta\sin\gamma=\sin(\alpha-\gamma)\sin\beta~\Leftrightarrow~
а так как \sin\alpha\ne0
и \gamma\lt90^{\circ}
, то последнее равенство равносильно равенству \sin\gamma=\sin(\alpha-\gamma)
, которое, в свою очередь, равносильно равенству \gamma=\alpha-\gamma
, т. е. \alpha=2\gamma
. Тогда
\beta=180^{\circ}-3\gamma.
Из точек D
и E
отрезок CH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CH
. Трапеция CHED
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная, EH=DC
.
Поскольку
\angle BHD=90^{\circ}-\angle DBH=90^{\circ}-\angle CBE=\angle BCE=\angle DCH,
прямоугольные треугольники AEH
и ADC
подобны, а так как EH=DC
, то они равны. Значит, AE=AD
. Поскольку DE\parallel CF
и AB\perp CF
, то DE\perp AB
, поэтому прямая AB
— серединный перпендикуляр к отрезку DE
, и
\angle HBF=\angle CBF=\beta=180^{\circ}-3\gamma,
а так как
\angle BAE=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-2\gamma,
то
\angle HBF=\angle EBA=90^{\circ}-\angle BAE=90^{\circ}-(180^{\circ}-2\gamma)=2\gamma-90^{\circ}.
Таким образом,
180^{\circ}-3\gamma=2\gamma-90^{\circ},
откуда \gamma=54^{\circ}
. Следовательно,
\alpha=2\gamma=108^{\circ},~\beta=180^{\circ}-3\gamma=18^{\circ}.