13985. Точки H
и O
— соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC
. Точка K
— середина отрезка AH
. Точка P
лежит на AC
, причём \angle BKP=90^{\circ}
. Докажите, что OP\parallel BC
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку O
параллельно BC
, пересекает AC
в точке D
, а E
и F
— проекции точек соответственно D
и O
на BC
. Докажем, что точка D
совпадает с P
. Для этого достаточно доказать, что KD\perp BK
.
Поскольку AH=2OE
(см. задачу 1257) и AH\parallel OE\parallel DF
, то AK=KH=DF
, поэтому AKFD
и KHFD
— параллелограммы. Значит, AD\parallel KF
и HF\parallel KD
, а так как BH\perp AD
то BH\perp KF
. Кроме того KH\perp BF
, поэтому H
— ортоцентр треугольника BKF
, и HF\perp BK
. Значит, KD\perp BK
. Отсюда следует утверждение задачи.