14002. Основание призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Ортогональная проекция вершины A_{1}
на плоскость ABC
— середина ребра AC
. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если AA_{1}=2
, \angle A_{1}AC=75^{\circ}
и двугранный угол призмы при ребре AA_{1}
равен 60^{\circ}
.
Ответ. 6+2\sqrt{3}
.
Решение. Пусть H
— середина ребра AC
. Тогда A_{1}H
— высота призмы и высота равнобедренного треугольника AA_{1}C
,
AC=2AH=2AA_{1}\cos75^{\circ}=4\cos75^{\circ}.
Пусть CP
— вторая высота треугольника AA_{1}C
. Тогда
CP=AC\sin75^{\circ}=4\cos75^{\circ}\cdot\sin75^{\circ}=2\sin150^{\circ}=1.
Прямая AC
— ортогональная проекция прямой AA_{1}
на плоскость ABC
, а так как AC\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах AA_{1}\perp BC
.
Прямая AA_{1}
перпендикулярна пересекающимся прямым CP
и BC
плоскости BPC
, поэтому AA_{1}
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, BPC
— линейный угол двугранного угла призмы при ребре AA_{1}
. По условию \angle BPC=60^{\circ}
. Кроме того, треугольник BCP
— перпендикулярное сечение призмы, поэтому площадь S
её боковой поверхности, равна периметру этого треугольника, умноженному на боковое ребро (см. задачу 9107).
Прямая BC
перпендикулярна пересекающимся прямым A_{1}H
и AA_{1}
плоскости AA_{1}C
, поэтому BC
— перпендикуляр к этой плоскости, значит, BC\perp CP
, т. е. треугольник BCP
прямоугольный. Тогда
BP=\frac{CP}{\cos60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2,~BC=\sqrt{3}.
Значит, периметр перпендикулярного сечения призмы равен
CP+BP+BC=1+2+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}.
Следовательно,
S=(CP+BP+BC)AA_{1}=(3+\sqrt{3})\cdot2=6+2\sqrt{3}.