14005. Основание прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
. Найдите угол между прямыми AB_{1}
и CD_{1}
, если AA_{1}=AB=BC=CD=\frac{1}{2}AD
.
Ответ. \arccos\frac{1}{4}
.
Решение. Обозначим AB=a
. Тогда ABB_{1}A_{1}
и CDD_{1}C_{1}
квадраты со стороной a
, поэтому AB_{1}=CD_{1}=a\sqrt{2}
.
Пусть M
— середина основания AD
трапеции ABCD
. Тогда ABM
, BMC
и DCM
— равносторонние треугольники со стороной a
, а \angle ABC=\angle BCD=120^{\circ}
.
Пусть F
и E
— точки, симметричные точкам соответственно B
и C
относительно прямой AD
. Тогда ABCDEF
— правильный шестиугольник, так как все его стороны равны a
, а все углы равны по 120^{\circ}
. Тогда прямая шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильная.
Поскольку B_{1}D_{1}\parallel AE
и B_{1}D_{1}=AE
, четырёхугольник AED_{1}B_{1}
— параллелограмм, поэтому ED_{1}=AB_{1}
и ED_{1}\parallel AB_{1}
. Значит, угол \alpha
между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и CD_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми ED_{1}
и CD_{1}
, т. е. углу ED_{1}C
или смежному с ним углу. При этом CE=a\sqrt{3}
. По теореме косинусов
\cos\angle ED_{1}C=\frac{ED_{1}^{2}+CD_{1}^{2}-CE^{2}}{2ED_{1}\cdot CD_{1}}=\frac{2a^{2}+2a^{2}-3a^{2}}{2\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{4}.
Следовательно,
\alpha=\angle ED_{1}C=\arccos\frac{1}{4}.