14020. Один из концов диаметра сферы совпадает с общей точкой трёх попарно перпендикулярных плоскостей. Радиусы сечений сферы этими плоскостями равны r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
. Найдите радиусы сферы.
Ответ. \sqrt{\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}}{2}}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, диагональ AC_{1}
которого совпадает с диаметром сферы. Тогда AC_{1}=2R
, где R
— искомый радиус сферы, а диаметры описанных окружностей граней параллелепипеда с общей вершиной A
(т. е. диагонали граней) равны 2r_{1}
, 2r_{2}
, 2r_{3}
.
Обозначим через x
, y
и z
измерения параллелепипеда. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=4r_{1}^{2}\\x^{2}+z^{2}=4r_{2}^{2}\\y^{2}+z^{2}=4r_{3}^{2}.}
Сложив эти равенства и разделив результат на два, получим, что
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}),
поэтому
4R^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}).
Следовательно,
R=\sqrt{\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}}{2}}.