14021. Сфера с центром O
и радиусом 6 проходит через общую точку A
трёх попарно перпендикулярных плоскостей. Прямая OA
образует с двумя из данных плоскостей углы 30^{\circ}
и 45^{\circ}
. Найдите радиусы сечений сферы каждой из этих трёх плоскостей.
Ответ. 3\sqrt{3}
, 3\sqrt{3}
, 3\sqrt{3}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, диагональ AC_{1}
которого совпадает с диаметром сферы. Пусть углы прямой AC_{1}
с плоскостями граней AA_{1}D_{1}D
и AA_{1}B_{1}B
равны 30^{\circ}
и 45^{\circ}
соответственно.
Из прямоугольных треугольников AD_{1}C_{1}
и AB_{1}C_{1}
находим, что
C_{1}D_{1}=\frac{1}{2}AC_{1}=6,~AD_{1}=6\sqrt{3},~AB_{1}=C_{1}B_{1}=6\sqrt{2}.
Пусть r_{1}
, r_{2}
и r_{3}
— искомые радиусы сечений сферы плоскостями граней AA_{1}D_{1}D
, AA_{1}B_{1}B
и ABCD
соответственно (т. е. половины диагоналей этих граней). Тогда
r_{1}=\frac{1}{2}AD_{1}=3\sqrt{3},~r_{2}=\frac{1}{2}AB_{1}=3\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника B_{1}C_{1}D_{1}
находим, что
A_{1}C{1}=\sqrt{C_{1}B_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{72+36}=6\sqrt{3}.
Следовательно,
r_{3}=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}=3\sqrt{3}.