14024. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а боковое ребро равно 10. Найдите радиус сферы, касающейся всех рёбер пирамиды.
Ответ. 12\sqrt{\frac{2}{17}}
.
Решение. Пусть R
— радиус сферы с центром O
, касающейся всех рёбер данной правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
, SH
— высота пирамиды. Поскольку центр O
сферы равноудалён от лучей SA
, SB
, SC
и SD
, а точки касания лежат на боковых рёбрах, а не на их продолжениях, то точка O
лежит на высоте SH
. При этом сфера касается сторон основания пирамиды в их серединах.
Из прямоугольного треугольника CHS
находим, что
SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{10^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{17},
\sin\angle ASH=\frac{AH}{SA}=\frac{4\sqrt{2}}{10}=\frac{2\sqrt{2}}{5}.
Обозначим OH=x\gt0
. Пусть M
и K
— точки касания сферы со стороной AB
основания и боковым ребром SA
соответственно. Тогда
R^{2}=OM^{2}=OH^{2}+MH^{2}=x^{2}+16,
R=OK=SO\sin\angle ASH=(SH-OH)\sin\angle ASH=(2\sqrt{17}-x)\cdot\frac{2\sqrt{2}}{5}.
Значит,
x^{2}+16=\frac{8}{25}(2\sqrt{17}-x)^{2},~17x^{2}+32x\sqrt{17}-144=0,
откуда, учитывая, что x\gt0
, получаем x=\frac{4}{\sqrt{17}}
. Следовательно,
R=\sqrt{x^{2}+16}=\sqrt{\frac{16}{17}+16}=12\sqrt{\frac{2}{17}}.