14025. В шар радиуса R
вписана правильная четырёхугольная призма. Радиус, проведённый к одной из вершин основания, образует с плоскостью боковой грани угол в 30^{\circ}
. Найдите объём призмы.
Ответ. R^{3}\sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы, описанной около правильной четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
, H
— центр квадрата ABCD
, Q
— центр прямоугольника AA_{1}B_{1}B
, а V
— объём призмы.
По условию задачи \angle OAQ=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AOQ
находим, что OQ=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}R
, а так как отрезок OQ
равен половине стороны квадрата ABCD
, то сторона квадрата равна R
. Тогда AH=\frac{R\sqrt{2}}{2}
. Из прямоугольного треугольника AHO
находим, что
OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{1}{2}R^{2}}=\frac{R\sqrt{2}}{2},
а так как отрезок OH
равен половине высоты призмы, то высота равна R\sqrt{2}
. Следовательно,
V=AB^{2}\cdot AA_{1}=R^{2}\cdot R\sqrt{2}=R^{3}\sqrt{2}.