14032. Даны треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{BC_{1}}+\overrightarrow{CA_{1}}.
Решение. Пусть M
и M_{1}
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Тогда
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})~\mbox{и}~\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{BC_{1}}+\overrightarrow{CA_{1}})
(см, задачу 4507). Следовательно,
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{BC_{1}}+\overrightarrow{CA_{1}}.
Примечание. Утверждение верно и в случае, когда треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
не лежат в одной плоскости.