14035. Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника ABCD
, а M_{1}
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника TXYZ
. Докажите, что
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{DZ}).
Решение. Сложив четыре очевидных равенства
\overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TM_{1}},
\overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{XM_{1}},
\overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{YM_{1}},~
\overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DZ}+\overrightarrow{ZM_{1}},~
получим
4\overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{DZ}+
+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})+(\overrightarrow{TM_{1}}+\overrightarrow{XM_{1}}+\overrightarrow{YM_{1}}+\overrightarrow{ZM_{1}})=
=\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{DZ}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+
=\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{DZ}
(см. задачу 14033). Следовательно,
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{DZ}).
Примечание. Утверждение верно и в случае, когда ABCD
и TXYZ
— пространственные четырёхугольники.