14039. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. На боковых рёбрах SB
, SC
и SD
отметили точки соответственно M
, N
и K
, причём SM:MB=3:2
, SN:NC=2:1
и SK:KD=1:3
. В каком отношении, считая от вершины S
, плоскость MNK
делит ребро SA
?
Ответ. 3:5
.
Решение. Первый способ. Пусть плоскость MNK
пересекает ребро SA
в точке F
. Плоскости ASB
и CSD
проходят через параллельные прямые AB
и CD
и имеют общую точку S
, поэтому они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку S
параллельно AB
и CD
(см. задачу 8004).
Пусть прямая NK
пересекает прямые l
и CD
в точках T
и X
соответственно. Обозначим CD=AB=a
, CX=z
. По теореме Менелая для треугольника CSD
и прямой KN
получаем,
\frac{SK}{KD}\cdot\frac{DX}{XC}\cdot\frac{CN}{NS}=1,~\mbox{или}~\frac{1}{3}\cdot\frac{a+z}{z}\cdot\frac{2}{1}=1,
откуда z=2a
. Тогда из подобия треугольников SNT
и CNX
находим, что
ST=CX\cdot\frac{SN}{NC}=\frac{1}{2}CX=a.
Пусть прямая MF
, лежащая в плоскости ASB
, пересекает прямую AB
в точке Y
. Из подобия треугольников BMY
и SMT
получаем, что
BY=ST\cdot\frac{BM}{MS}=a\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}a.
Тогда из подобия треугольников SFT
и AFY
находим, что
\frac{SF}{FA}=\frac{ST}{AY}=\frac{a}{a+\frac{2}{3}a}=\frac{3}{5}.
Второй способ. Пусть плоскость MNK
пересекает ребро SA
в точке F
. Обозначим \frac{SF}{SA}=k
и разложим векторы \overrightarrow{MN}
, \overrightarrow{MK}
и \overrightarrow{MF}
по трём некомпланарным векторам \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{BS}=\overrightarrow{b}
и \overrightarrow{BC}=b
:
\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\frac{4}{15}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c},
\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}(-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{7}{20}\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{c},
\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SF}=\overrightarrow{MS}+k\overrightarrow{SA}=\frac{3}{5}\overrightarrow{b}+k(-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a})=k\overrightarrow{a}+\left(\frac{3}{5}-k\right)\overrightarrow{b}.
Точки M
, N
, K
и F
лежат в одной плоскости, поэтому вектор \overrightarrow{MF}
можно единственным образом разложить по двум неколлинеарным векторам \overrightarrow{MN}
и \overrightarrow{MK}
, т. е. существует единственная пара чисел x
и y
, для которой \overrightarrow{MF}=x\overrightarrow{MN}+y\overrightarrow{MK}
, или
k\overrightarrow{a}+\left(\frac{3}{5}-k\right)\overrightarrow{b}=x\left(\frac{4}{15}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\right)+y\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{7}{20}\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{c}\right)~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\left(\frac{1}{4}y-k\right)\overrightarrow{a}+\left(\frac{4}{5}x+\frac{7}{20}y+k-\frac{3}{5}\right)\overrightarrow{b}+\left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}.
Векторы \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
некомпланарны, поэтому последнее равенство возможно только в случае, когда
\syst{\frac{1}{4}y-k=0\\\frac{4}{5}x+\frac{7}{20}y+k-\frac{3}{5}=0\\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0,\\}
откуда x=-\frac{9}{8}
, y=\frac{3}{2}
, k=\frac{3}{8}
. Значит, \frac{SF}{SA}=k=\frac{3}{8}
. Следовательно, \frac{SF}{FA}=\frac{3}{5}
.