14052. Сторона квадрата ABCD
равна 1. К плоскости квадрата проведены перпендикуляры AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, расположенные по одну сторону от этой плоскости. Известно, что
AA_{1}+CC_{1}=BB_{1}+DD_{1}=10.
Найдите объём многогранника ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Ответ. 5.
Решение. Через центр O
квадрата ABCD
проведём прямую, параллельную AA_{1}
. Эта прямая лежит в плоскости параллельных прямых AA_{1}
и CC_{1}
, поэтому она пересекает прямую A_{1}C_{1}
в некоторой точке O_{1}
. По теореме Фалеса O_{1}
— середина отрезка A_{1}C_{1}
, поэтому
OO_{1}=\frac{AA_{1}+CC_{1}}{2}=5.
Аналогично, эта прямая проходит через середину O_{2}
отрезка B_{1}D_{1}
, причём
OO_{2}=\frac{BB_{1}+CDD{1}}{2}=5=OO_{1}.
Значит, точки O_{1}
и O_{2}
совпадают, поэтому точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
лежат в одной плоскости \alpha
.
На продолжении отрезка OO_{1}
за точку O_{1}
отложим отрезок OP=5
, и через точку P
проведём плоскость, параллельную плоскости квадрата ABCD
. Тем самым достроим многогранник ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
до правильной четырёхугольной призмы. Тогда плоскость \alpha
разбивает эту призму на две равные части, так как эти части симметричны относительно точки O_{1}
. Следовательно, объём многогранника ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен половине объёма этой призмы, т. е. \frac{1}{2}\cdot1\cdot10=5
.