14057. Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами a
и b
, a\gt b
. Одна из боковых граней пирамиды является равнобедренной трапецией, а противоположная ей грань образует с большим основанием угол \alpha
. Найдите объём усечённой пирамиды.
Ответ. \frac{1}{3}(a^{3}-b^{3})\tg\alpha
.
Решение. Пусть ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— основания данной усечённой пирамиды, V
— её объём, AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
— боковые рёбра, боковая грань ADD_{1}A_{1}
— равнобедренная трапеция с основаниями AD=a
и A_{1}D_{1}=b
, H
и H_{1}
— середины AD
и A_{1}D_{1}
соответственно, M
и M_{1}
— середины BC
и B_{1}C_{1}
соответственно, P
— ортогональная проекция точки M_{1}
на плоскость квадрата ABCD
. Тогда M_{1}P=H_{1}H=h
— высота усечённой пирамиды, а PMM_{1}
— линейный угол двугранного угла при ребре BC
, т. е. \angle PMM_{1}=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника PMM_{1}
находим, что
h=M_{1}P=MP\tg\angle PMM_{1}=(MH-PH)\tg\alpha=(a-b)\tg\alpha.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}h(a^{2}+\sqrt{ab}+b^{2})=\frac{1}{3}(a-b)\tg\alpha\cdot(a^{2}+\sqrt{ab}+b^{2})=\frac{1}{3}(a^{3}-b^{3})\tg\alpha.