14064. Основание пирамиды TABCD
— ромб ABCD
. Высота TK
пирамиды равна 1, точка K
лежит на прямой, содержащей диагональ AC
основания, причём KC=KA+AC
. Боковое ребро TC
равно 2\sqrt{2}
, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами 30^{\circ}
и 60^{\circ}
. Найдите сторону основания и угол между боковым ребром TA
и плоскостью боковой грани TCD
.
Ответ. \frac{7}{6}
; \arcsin\frac{\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Из условия следует, что точка K
лежит на продолжении отрезка AC
за точку A
. Пусть прямая, проведённая через точку K
перпендикулярно AB
, пересекает параллельные прямые AB
и CD
в точках N
и M
соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах TN\perp AB
и TM\perp CD
. Значит, TNK
и TMK
— линейные углы двугранных углов, о которых говорится в условии, и \angle TNK=60^{\circ}
, \angle TMK=30^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников TKN
и TKM
находим, что
KN=TK\ctg60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3},~KM=TK\ctg30^{\circ}=\sqrt{3},
Значит,
MN=KM-KN=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Из прямоугольных треугольников TKC
, TKM
и TMC
находим, что
CK=\sqrt{TC^{2}-TK^{2}}=\sqrt{8-1}=\sqrt{7},~TM=\sqrt{TK^{2}+KM^{2}}=\sqrt{1+3}=2,~
CM=\sqrt{TC^{2}-TM^{2}}=\sqrt{8-4}=2.
Обозначим \angle ACD=\alpha
. Из прямоугольного треугольника CMK
находим, что
\sin\alpha=\frac{KM}{CK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{7}},~\sin\angle BCD=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cdot\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}.
Пусть a
— сторона ромба, BP
— высота, опущенная на сторону CD
. Тогда
a=BC=\frac{BH}{\sin2\alpha}=\frac{NM}{\sin2\alpha}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}=\frac{7}{6}.
Точка A
лежит на прямой AB
, параллельной плоскости TCD
, поэтому расстояние d
от точки A
до плоскости TCD
равно расстоянию до этой плоскости от любой точки прямой AD
, например, от точки N
. В то же время, точка N
делит наклонную KM
к этой плоскости в отношении
\frac{KN}{NM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2},
поэтому (см. задачу 9180) расстояние d
равно двум третям расстояния от точки K
до плоскости TCD
, т. е. двум третям высоты KQ
прямоугольного треугольника TKM
. Следовательно,
d=\frac{2}{3}KQ=\frac{2}{3}\cdot\frac{TK\cdot KM}{TM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Отрезок AC
— диагональ ромба ABCD
со стороной a
, поэтому
AC=2a\cos\alpha=\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{3}.
Тогда
AK=CK-AC=\sqrt{7}-\frac{2\sqrt{7}}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3}.
По теореме Пифагора
TA=\sqrt{TK^{2}+AK^{2}}=\sqrt{1+\frac{7}{9}}=\frac{4}{3}.
Пусть угол между прямой TA
и плоскостью TCD
равен \varphi
. Тогда
\sin\varphi=\frac{d}{TA}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, \varphi=\arcsin\frac{\sqrt{3}}{4}
.