14073. Докажите, что если сечение тетраэдра плоскостью имеет форму параллелограмма, то полупериметр этого параллелограмма заключён между длинами наименьшего и наибольшего рёбер тетраэдра.
Решение. Если сечение тетраэдра — параллелограмм, то плоскость сечения не может проходить через вершину тетраэдра, следовательно, плоскость сечения пересекает четыре ребра тетраэдра в их внутренних точках. Пусть вершины M
, N
, P
и Q
параллелограмма MNPQ
сечения лежат на рёбрах соответственно AB
, AC
, CD
и BD
тетраэдра ABCD
.
Плоскости ABC
и DBC
проходят через параллельные прямые соответственно MN
и PQ
, поэтому прямая BC
их пересечения параллельна прямым MN
и PQ
(см. задачу 8004). Аналогично, прямая AD
параллельна прямым MQ
и PN
.
Обозначим \frac{MN}{BC}=k
. Тогда \frac{MQ}{AD}=1-k
, поэтому
\frac{MN}{BC}+\frac{MQ}{AD}=k+(1-k)=1.
Пусть длины наименьшего и наибольшего рёбер тетраэдра равны a
и b
соответственно, а полупериметр сечения равен p
. Тогда
1=\frac{MN}{BC}+\frac{MQ}{AD}\leqslant\frac{MN}{a}+\frac{MQ}{a}=\frac{MN+MQ}{a},
откуда
p=MN+PQ\geqslant a.
Аналогично,
1=\frac{MN}{BC}+\frac{MQ}{AD}\geqslant\frac{MN}{b}+\frac{MQ}{b}=\frac{MN+MQ}{b},
откуда
p=MN+PQ\leqslant b.
Следовательно, a\leqslant p\leqslant b
. Что и требовалось доказать.