14079. Пусть a
и b
— радиусы двух сфер, касающихся друг друга и плоскости. Докажите, что радиус r
наибольшей сферы, проходящей между этими двумя сферами и плоскостью, удовлетворяет равенству
\frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}.
Решение. Пусть A
, B
и C
— центры сфер радиусов a
, b
и r
соответственно; A'
, B'
и C'
— точки касания этих сфер с плоскостью. Рассмотрим плоскость \alpha
параллельных прямых AA'
и BB'
.
Пусть точка C'
лежит на отрезке A'B'
. Тогда (см. задачу 719)
2\sqrt{ar}+2\sqrt{br}=2\sqrt{ab},
откуда
\frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}.
Если точки A'
, B'
и C'
не лежат на одной прямой, то ортогональная проекция сферы с центром C
на плоскость \alpha
пересекает в двух точках окружности сечений первых двух сфер этой плоскостью, а значит, сфера с центром C
на может пройти через указанный зазор.