1408. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен r
, а острый угол ромба равен \alpha
. Найдите сторону ромба.
Ответ. \frac{2r}{\sin\alpha}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r
с центром O
, вписанная в ромб ABCD
с углом \alpha
при вершине B
, касается противоположных сторон BC
и AD
в точках M
и N
соответственно. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то O
— точка пересечения диагоналей ромба ABCD
Радиусы OM
и ON
перпендикулярны противоположным сторонам BC
и AD
ромба, значит точка O
лежит на отрезке MN
. Поэтому MN=OM+ON=2r
.
Из вершины A
опустим перпендикуляр AH
на BC
. Тогда AH=MN=2r
. Из прямоугольного треугольника AHB
находим, что
AB=\frac{AH}{\sin\angle ABH}=\frac{2r}{\sin\alpha}.