14080. Сумма площадей основания и диагональных сечений правильной четырёхугольной пирамиды равна площади боковой поверхности. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
Ответ. 2\arctg\frac{1}{3}=\arctg\frac{3}{4}
.
Решение. Пусть искомый плоский угол при вершине пирамиды равен \alpha
, сторона основания пирамиды равна a
, высота пирамиды равна h
, апофема пирамиды равна p
. Тогда \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2p}
.
По теореме Пифагора
h=\sqrt{p^{2}-\frac{a^{2}}{4}}.
Площади основания, диагонального сечения, и боковой поверхности пирамиды равны соответственно
a^{2},~\frac{1}{2}a\sqrt{2}h=\frac{1}{2}a\sqrt{2p^{2}-\frac{a^{2}}{2}},~4\cdot\frac{1}{2}ap=2ap.
По условию задачи
a^{2}+a\sqrt{2p^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=2ap~\Rightarrow~a+\sqrt{2p^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=2p~\Rightarrow~\sqrt{2p^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=2p-a~\Rightarrow~
~\Rightarrow~2p^{2}-\frac{a^{2}}{2}=4p^{2}-4ap+a^{2}~\Rightarrow~3a^{2}-8ap+4p^{2}=0.
откуда a=2p
или a=\frac{2}{3}p
. Значит,
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2p}=1~\mbox{или}~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2p}=\frac{1}{3}.
Значит, \alpha=90^{\circ}
, что невозможно, так как сумма плоских углов выпуклого четырёхгранного угла меньше 360^{\circ}
(см. задачу 7434), или
\alpha=2\arctg\frac{1}{3}=\arctg\frac{3}{4}\lt90^{\circ}.