14098. Рассматриваются четырёхугольные пирамиды TABCD
со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC=2
, CD=DA=3
, а каждая из плоскостей боковых граней TAB
, TBC
, TCD
, TDA
составляет угол 30^{\circ}
с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины T
, равна 2.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
Ответ. а) \frac{4}{\sqrt{3}}
; б) 4\sqrt{3}
.
Решение. Пусть TH=h
— высота пирамиды, P
— проекция вершины T
на прямую AB
. Тогда THP
— прямоугольный треугольник с углом TPH=30^{\circ}
, поэтому HP=h\ctg30^{\circ}=h\sqrt{3}
. Аналогично доказывается, что точка H
удалена от каждой из прямых BC
, CD
и DA
на расстояние r=h\sqrt{3}
. Это значит, что окружность радиуса r
с центром H
касается прямых AB
, BC
, CD
и DA
.
Треугольники BAD
и BCD
равны по трём сторонам, поэтому четырёхугольник ABCD
симметричен относительно диагонали BD
. Пусть S
— его площадь. Тогда
S=2S_{\triangle BAD}=AB\cdot AD\sin\angle BAD\leqslant AB\cdot AD=6.
Равенство достигается, когда \angle BAD=90^{\circ}
, поэтому S_{\max}=6
.
Точка H
лежит на биссектрисе каждого из внутренних или внешних углов четырёхугольника ABCD
. Лучи BD
и DB
— биссектрисы углов соответственно ABC
и ADC
. Биссектрисы внешних углов при вершинах B
и D
параллельны (см. задачу 1174), поэтому точка H
обязана лежать на прямой BD
.
Обозначим через I
и J
точки пересечения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине A
с прямой BD
. Тогда I
— центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD
(пусть её радиус равен r_{1}
), а J
— центр окружности, касающейся продолжений сторон четырёхугольника ABCD
(вневписанной окружности, пусть её радиус равен r_{2}
). Тогда (см. задачу 523) площадь описанного четырёхугольника может быть задана формулой
S=\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\cdot r_{1}=5r_{1},
откуда r_{1}=\frac{1}{5}S
. Также
S=S_{\triangle ADJ}+S_{\triangle ADJ}+S_{\triangle CDJ}-S_{\triangle ABJ}-S_{\triangle CBJ}=\frac{AD+CD-AB-BC}{2}\cdot r_{2}=r_{2}
Пирамида удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда: 1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности (т. е. точка H
совпадает с I
) и при этом её длина равна MH=h=r_{1}=\frac{1}{5}S
; 2) высота проходит через центр вневписанной окружности (т. е. точка H
совпадает с J
) и MH=h=r_{2}=S
.
а) При h=2
первый случай невозможен, так как
S=5r_{1}=5h\sqrt{3}=10\sqrt{3}\gt6.
Поэтому остаётся второй случай. Тогда
S=r_{2}=h\sqrt{3}=2\sqrt{3},~V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot h^{2}\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
б) В первом и во втором случае
V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}S\cdot\frac{S}{5\sqrt{3}}=\frac{S^{2}}{15\sqrt{3}},
V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}S\cdot\frac{S}{\sqrt{3}}=\frac{S^{2}}{3\sqrt{3}}.
Наибольший объём
V_{\max}=\frac{S_{\max}^{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{36}{3\sqrt{3}}=4\sqrt{3}.