14122. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой BC=4
. Сфера \omega
касается плоскости основания пирамиды и касается всех трёх её боковых рёбер в их серединах. Пусть \Omega
— сфера, описанная около пирамиды SABC
.
а) Найдите расстояние между центрами сфер \omega
и \Omega
.
б) Найдите отношение радиусов сфер \omega
и \Omega
.
в) Пусть дополнительно известно, что угол между гранями SAB
и ABC
равен \arctg2
. Найдите объём пирамиды SABC
.
Ответ. а) 0
; б) 1:2
; в) 4
.
Решение. Пусть O
— центр сферы \omega
; K
, L
, M
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на рёбра AS
, BS
, CS
соответственно; SH
— высота пирамиды SABC
; r
и R
— радиусы сфер \omega
и \Omega
соответственно.
а) Поскольку точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AS
, она равноудалена от концов этого отрезка, т. е. OA=OS
. Аналогично, OB=OS
и OC=OS
. Значит, OA=OB=OC=OS
, значит, точка O
— центр сферы \Omega
. Следовательно, расстояние между центрами сфер равно нулю.
б) Отрезки SK
, SL
и SM
равны как касательные, проведённые из точки S
к сфере \omega
. Поскольку точки K
, L
, M
— середины боковых рёбер пирамиды, отсюда получаем, что боковые рёбра равны между собой. Тогда высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (см. задачу 7163). Боковые рёбра OA
, OB
, OC
пирамиды OABC
также равны между собой как радиусы сферы \Omega
, значит, и её высота, проведённая из вершины O
проходит через центр окружности, описанной около основания. Таким образом, высота пирамиды SH
проходит через точку O
. Кроме того, точка H
совпадает с центром окружности, описанной около основания. Поскольку треугольник ABC
прямоугольный, точка H
— середина гипотенузы BC
, а так как отрезок OH
перпендикулярен плоскости основания, он равен радиусу r
сферы \omega
.
В прямоугольном треугольнике SHC
точка M
— середина гипотенузы SC
, на катете SH
находится точка O
, причём SO=CO=R
, OH=OM=r
. Поскольку CH
и CM
— отрезки касательных, проведённых к сфере \omega
из одной точки, то CH=CM=SM
. Значит, CH=\frac{1}{2}SC
, \angle HSC=30^{\circ}
. Тогда из прямоугольного треугольника SOM
находим, что r:R=OM:OS=1:2
.
в) Поскольку SB=SC=2CH=BC=4
, треугольник SBC
равносторонний, поэтому
SH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.
Пусть F
— середина ребра AB
. Тогда SFH
линейный угол двугранного угла между гранями SAB
и ABC
пирамиды SABC
. Тогда
\angle SFH=\arctg2,~HF=SH\ctg\angle SFH=2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3},
а так как FH
— средняя линия треугольника ABC
, то AC=2FH=2\sqrt{3}
. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{16-12}=2,
поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=4.