14145. В каком отношении CE:CD
точка E
делит сторону CD
основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом 30^{\circ}
, если известно, что площадь треугольника SBE
минимально возможная?
Ответ. 3:5
.
Решение. Площадь треугольника SBM
минимальна, если его высота EN
, опущенная из вершины E
минимальна, т.е когда отрезок EN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CD
и SB
(см. задачу 7423).
Пусть сторона основания ABCD
пирамиды равна a
, а SH
— высота пирамиды. По условию задачи \angle HCS=30^{\circ}
, поэтому
CH=\frac{a\sqrt{2}}{2},~SD=SB=SC=\frac{CH}{\cos30^{\circ}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Обозначим \angle DCS=\angle CBS=\beta
, \angle BSC=\gamma
. По теореме косинусов находим, что
\cos\beta=\frac{CD^{2}+SC^{2}-SD^{2}}{2CD\cdot SC}=\frac{a^{2}+\frac{2}{3}a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},
\cos\gamma=\frac{SB^{2}+SC^{2}-BC^{2}}{2SB\cdot SC}=\frac{\frac{2}{3}a^{2}+\frac{2}{3}a^{2}-a^{2}}{2\cdot\frac{2}{3}a^{2}}=\frac{1}{4}.
Обозначим \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{CS}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{SB}=\overrightarrow{c}
, |\overrightarrow{a}|=a
, |\overrightarrow{b}|=b
, |\overrightarrow{c}|=c
.
Пусть \frac{CE}{CD}=x
, \frac{SN}{SB}=y
. Разложим вектор \overrightarrow{EN}
по трём некомпланарным векторам \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
. Получим
\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{SN}=x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}.
Если отрезок EN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CD
и SB
, то \overrightarrow{EN}\cdot\overrightarrow{CD}=0
и \overrightarrow{EN}\cdot\overrightarrow{SB}=0
, или
\syst{\overrightarrow{a}(x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c})=0\\\overrightarrow{c}(x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c})=0,\\}~~~\syst{x\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=0\\x\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}^{2}=0,\\}
\syst{xa^{2}-ab\cos\beta+yac\cos\beta=0\\xca\cos\beta-cb\cos\gamma+yc^{2}=0,\\}~~~\syst{xa^{2}-a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+ya\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=0\\xa\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-a^{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+ya^{2}\cdot\frac{2}{3}=0,\\}~~~
\syst{x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}y=0\\\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}y=0.\\}
Отсюда находим, что x=\frac{3}{5}
. Следовательно, \frac{CE}{CD}=\frac{3}{5}
.