14148. Внутри тетраэдра ABCD
даны точки X
и Y
. Расстояния от точки X
до граней ABC
, ABD
, ACD
, BCD
равны 14, 11, 29, 8 соответственно. А расстояния от точки Y
до граней ABC
, ABD
, ACD
, BCD
равны 15, 13, 25, 11 соответственно. Найдите радиус вписанной сферы тетраэдра ABCD
.
Ответ. 17.
Решение. Рассмотрим такую точку Z
, лежащую на луче XY
, для которой, что XY:YZ=1:2
. Докажем, что она и является центром вписанной сферы тетраэдра. Опустим из точек X
, Y
, Z
перпендикуляры XX_{\alpha}
, YY_{\alpha}
, ZZ_{\alpha}
на плоскость ABC
. Они будут лежать в одной плоскости, перпендикулярной плоскости ABC
. Также проведём через точку X
прямую, параллельную X_{\alpha}Y_{\alpha}
, и её пересечения с прямыми YY_{\alpha}
и ZZ_{\alpha}
обозначим соответственно Y'
и Z'
.
Прямоугольные треугольники XZZ'
и XYY'
подобны с коэффициентом 3, а Z'Z_{\alpha}=Y'Y_{\alpha}=XX_{\alpha}
, поэтому
ZZ_{\alpha}=XX_{\alpha}+3(YY_{\alpha}-XX_{\alpha})=3YY_{\alpha}-2XX_{\alpha}.
(При этом разность YY_{\alpha}-XX_{\alpha}
может оказаться как положительна, как на рисунке, так и отрицательна.) Аналогично для остальных трёх граней тетраэдра. Получаем, что расстояния от точки Z
до граней ABC
, ABD
, ACD
, BCD
равны соответственно
3\cdot15-2\cdot14=17,~3\cdot13-2\cdot11=17,~3\cdot25-2\cdot29=17,~3\cdot11-2\cdot8=17.
Кроме того, ясно, что точка Z
оказалась с той же стороны от каждой грани, что и точки X
и Y
(иначе формула дала бы нам отрицательное значение расстояния), а значит, она также лежит внутри тетраэдра.
Точка внутри тетраэдра, расстояния от которой до его граней равны, единственна — это центр вписанной сферы. Радиус сферы равен расстоянию от центра до граней, т. е. 17.