1415. Докажите, что если \alpha
, \beta
и \gamma
— величины углов треугольника, то:
\mbox{а})\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8};~~\mbox{б})\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника, а p
— его полупериметр.
Лемма 1 (см. задачу 3225).
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}~\mbox{и}~\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{p}{4R}.
Лемма 2 (см. задачу 3226). p\leqslant\frac{3R\sqrt{3}}{2}
.
Лемма 3 (см. задачу 3587). R\geqslant2r
.
Применяя эти леммы, докажем теперь, что
\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Действительно,
\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=8\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\leqslant
\leqslant8\cdot\frac{r}{4R}\cdot\frac{p}{4R}=\frac{rp}{2R^{2}}=p\cdot\frac{r}{2R^{2}}\leqslant\frac{3R\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{r}{2R^{2}}=
=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{r}{R}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Что и требовалось доказать.
Наконец, из лемм 1 и 2 следует, что
\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{p}{4R}=p\cdot\frac{1}{4R}\leqslant\frac{3R\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{4R}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Заметим, что в доказанных неравенствах равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.