14151. В правильной треугольной пирамиде SABC
сторона AB
основания равна 12, высота SH
равна 21. Точка K
— середина бокового ребра SA
, а точка N
— середина ребра BC
. Плоскость, параллельная плоскости ABC
проходит через точку K
и пересекает рёбра SB
и SC
в точках Q
и P
соответственно.
а) Докажите, что прямая QP
пересекает отрезок SN
в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями ABC
и AQP
.
Ответ. \arctg\frac{7\sqrt{3}}{10}
.
Решение. а) По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью (см. задачу 8009) прямые KQ
, KP
и PQ
соответственно параллельны прямым AB
, AC
и BC
. По теореме Фалеса точка Q
— середина ребра SB
, а точка M
пересечения прямой QP
с отрезком SN
— середина SN
. Кроме того, M
— точка пересечения средней линии треугольника BSC
и медианы SN
этого треугольника, поэтому M
— середина QP
(см. задачу 1881).
б) Плоскости ABC
и AQP
проходят через параллельные прямые BC
и QP
соответственно и имеют общую точку A
, значит они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку A
параллельно BC
и QP
. Поскольку AN
и AM
— медианы равнобедренных треугольников ABC
и AQP
соответственно, AN\perp BC
и AM\perp PQ
. Тогда AN\perp l
и AD\perp l
. Значит, искомый угол между плоскостями ABC
и AQP
— это угол NAM
.
Пусть T
— середина NH
. Тогда MT
— средняя линия прямоугольного треугольника SHT
, поэтому MT\perp AN
. В прямоугольном треугольнике AMT
известно, что
MT=\frac{1}{2}SH=\frac{21}{2},~AT=AN-TN=AN-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}AN=\frac{5}{6}AN=\frac{5\sqrt{3}}{12},
\tg\angle MAN=\tg\angle MAT=\frac{MT}{AT}=\frac{21}{2\cdot5\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{10}.