14158. В основании пирамиды MABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=4
и BC=\sqrt{33}
, все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD
основания отмечена точка E
, а на рёбрах AM
и AB
— точки F
и G
соответственно, причём MF=BE=BG=3
.
а) Докажите, что плоскость GEF
проходит через точку C
.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость GEF
пересекает грань CMD
пирамиды.
Ответ. \frac{4\sqrt{37}}{7}
.
Решение. а) По теореме Пифагора
BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{33+16}=7,
поэтому
DE=7-BE=4.
Пусть прямая CE
пересекает ребро AB
в точке G_{1}
. Тогда треугольники BG_{1}E
и DCE
подобны, поэтому
\frac{BG_{1}}{DC}=\frac{BE}{DE}=\frac{3}{4},
а значит, BG_{1}=3
и AG_{1}=1
. Отрезки BG_{1}
и BG
равны, следовательно, точка G_{1}
совпадает с точкой G
. Таким образом, точка G
лежит на прямой EC
, а значит, плоскость GEF
проходит через точку C
.
б) Поскольку MA=MB=AB=4
и MF=BG=3
, отрезок FG
параллелен отрезку MB
. Пусть плоскость GEF
пересекает отрезок MD
в точке K
. Прямая FG
параллельна MB
, поэтому FG
параллельна плоскости MBD
(см. задачу 8002). Плоскость MBD
и секущая плоскость пересекаются по прямой KE
, значит, прямая KE
параллельна FG
(см. задачу 8003) и, следовательно, параллельна MB
. Треугольники DKE
и DMB
подобны с коэффициентом \frac{DE}{DB}=\frac{4}{7}
. Тогда
DK=\frac{4}{7}DM=\frac{16}{7},~MK=4-\frac{16}{7}=\frac{12}{7}.
Плоскость GEF
пересекает грань CMD
по отрезку CK
. Угол CMK
равен 60^{\circ}
, так как MC=MD=CD=4
. По теореме косинусов из треугольника CMK
находим, что
CK^{2}=CM^{2}+MK^{2}-2CM\cdot MK\cos\angle CMK=\frac{16\cdot37}{49}.
Следовательно, CK=\frac{4\sqrt{37}}{7}
.