14159. ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— правильная призма, ребро AB
равно 16. Через точки M
и P
, лежащие на рёбрах AC
и BB_{1}
соответственно, проведена плоскость \alpha
, параллельная прямой AB
. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.
а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью \alpha
больше 40.
б) Найдите расстояние от точки A
до плоскости \alpha
, если упомянутый периметр равен 46.
Ответ. \frac{24\sqrt{273}}{91}
.
Решение. а) Плоскость ABC
проходит через прямую AB
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с этой плоскостью общую точку M
. Значит, плоскость \alpha
пересекает плоскость ABC
по прямой, проходящей через точку M
параллельно AB
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает ребро BC
в точке N
.
Аналогично докажем, что что плоскость \alpha
пересекает плоскость грани AA_{1}B_{1}B
по прямой, проходящей через точку P
параллельно AB
. Пусть эта прямая пересекает ребро AA_{1}
в точке Q
. Тогда искомое сечение — трапеция PQMN
с основаниями MN
и PQ
. В ней PQ=16
, и пусть QM=MN=NP=x
.
Треугольник CMN
равносторонний, так как MN\parallel AB
, значит, MC=x
и AM=16-x
. В прямоугольном треугольнике QAM
катет AM=16-x
короче гипотенузы QM=x
, поэтому x\gt16-x
, откуда x\gt8
. Тогда
PQ+QM+MN+NP\gt16+3x\gt16+24=40.
Что и требовалось доказать.
б) В данном случае 16+3x=46
, откуда x=10
. Тогда
QM=MC=10,~AM=16-10=6,~AQ=\sqrt{QM^{2}-AM^{2}}=8.
Поскольку плоскость \alpha
параллельна прямой AB
, расстояние от любой точки прямой AB
до плоскости \alpha
одно и то же, так что найдём расстояние от середины D
ребра AB
до этой плоскости. Пусть точка D_{1}
— середина ребра A_{1}B_{1}
.
Пусть E
— точка пересечения прямых DD_{1}
и PQ
, F
— точка пересечения прямых CD
и MN
. Высота DH
прямоугольного треугольника EFD
перпендикулярна пересекающимся прямым EF
и PQ
плоскости \alpha
, поэтому DH
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, искомое расстояние равно длине отрезка DH
. В прямоугольном треугольнике FED
известно, что
DE=8,~DF=CD\cdot\frac{AM}{AC}=\frac{16\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{6}{16}=3\sqrt{3},
EF=\sqrt{ED^{2}+DF^{2}}=\sqrt{91}.
Следовательно (см. задачу 1967),
DH=\frac{DE\cdot DF}{EF}=\frac{8\cdot3\sqrt{3}}{\sqrt{8^{2}+(3\sqrt{3})^{2}}}=\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{91}}=\frac{24\sqrt{273}}{91}.