14165. На ребре AA_{1}
правильной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отмечена точка M
, причём AM:MA_{1}=1:2
. Точка M
— вершина конуса, на окружности основания которого лежат три вершины призмы, включая B_{1}
.
а) Докажите, что угол MDA
равен 30^{\circ}
.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, если AB=\sqrt{6}
.
Ответ. 4\pi\sqrt{6}
.
Решение. а) Вершины A
, A_{1}
, B
, D
, и C_{1}
не могут удовлетворять условию, так как
MA\lt MA_{1}\lt MB_{1},~MD=MB\lt MB_{1},~MC_{1}\gt MB_{1}.
Значит, на окружности основания конуса лежат вершины B_{1}
, D_{1}
и C
, и MB_{1}=MD_{1}=MC
.
Пусть AM=x
, AD=y
. Из прямоугольных треугольников ACM
и MA_{1}D_{1}
получаем
AC=y\sqrt{2},~MC=\sqrt{AC^{2}+MA^{2}}=\sqrt{x^{2}+2y^{2}},
MD_{1}=\sqrt{MA_{1}^{2}+A_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{4x^{2}+y^{2}},
а так как MC=MD_{1}
(как образующие конуса), то \sqrt{x^{2}+2y^{2}}=\sqrt{x^{2}+2y^{2}}
, откуда y=x\sqrt{3}
. Тогда
\tg\angle MDA=\frac{MA}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно, \angle MDA=30^{\circ}
.
б) Окружность основания конуса описана около треугольника CB_{1}D_{1}
, в котором
B_{1}D_{1}=y\sqrt{2},~CB_{1}=CD_{1}=\sqrt{9x^{2}+y^{2}}=\sqrt{9\cdot\frac{y^{2}}{3}+y^{2}}=2y.
Тогда
\cos\angle B_{1}D_{1}C=\frac{\frac{1}{2}B_{1}D_{1}}{CD_{1}}=\frac{y\sqrt{2}}{4y}=\frac{1}{2\sqrt{2}},
\sin\angle B_{1}D_{1}C=\sqrt{1-\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника CB_{1}D_{1}
, S
— площадь боковой поверхности конуса. По теореме синусов
R=\frac{CB_{1}}{2\sin\angle B_{1}D_{1}C}=\frac{2y}{2\cdot\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}}=\frac{2y\sqrt{2}}{\sqrt{7}},
а так как
MC=\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=\sqrt{\frac{y^{2}}{3}+2y^{2}}=\frac{y\sqrt{7}}{\sqrt{3}},
то
S=\pi R\cdot MC=\pi\cdot\frac{2y\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\cdot\frac{y\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi y^{2}\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi\cdot(\sqrt{6})^{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=4\pi\sqrt{6}.