14166. Основание пирамиды SABCD
— трапеция ABCD
. Основание AD
вдвое больше основания BC
. На ребре SD
взята точка N
, причём SN=ND
. Сечение, проходящее через точки A
, B
и N
, пересекает ребро SC
в точке M
.
а) Докажите, что SM:MC=2:1
.
б) Найдите отношение объёмов тетраэдра DAMN
и пирамиды ACDNM
.
Ответ. 1:2
.
Решение. а) Пусть K
— точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Точка K
лежит в плоскости сечения, а так как BC=\frac{1}{2}AD
и BC\parallel AD
, то BC
— средняя линия треугольника AKD
. Значит, C
— середина KD
, а SC
— медиана треугольника DSK
. Тогда M
— точка пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, SM:MC=2:1
.
б) Пусть объём пирамиды SACD
равен V
. Тогда (см. задачу 7244)
V_{SAMN}=\frac{SN}{SD}\cdot\frac{SM}{SC}\cdot V_{SACD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V,
V_{ACDNM}=V-V_{SAMN}=\frac{2}{3}V.
Следовательно,
\frac{V_{SAMN}}{V_{ACDNM}}=\frac{\frac{1}{3}V}{\frac{2}{3}V}=\frac{1}{2}.